第二百五十四章 偶然的发现
第二百五十四章
跨校课题项目已经开题半个月。
这半个月时间，无论是罗宇所在课题小组，还是包梓所在的课题小组，均取得不错的进展。
尤其是包梓这边。
在关于变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题上取得了数项重大突破。
在包梓桌上有一本文件。
里面详细的记录了包梓在研究自守L-函数傅里叶系数均值问题的过程中，目前取得的一系列进展。
顾律简单的扫了一眼，接着满意的点点头。
总的来说，包梓这边的进度，是比顾律预想中的要快上一些的。
顾律本以为，半个月左右的时间，包梓这边达成10%的进度就算不错了。
但现在看来，这个估计还是有些保守了。
在针对课题中关于傅里叶系数均值问题的研究，包梓这边的进度差不多是15%。
按照这个效率继续下去，不需要半年，大概只需要四个月左右的时间，包梓这边就能完工。
顾律还不清楚金陵大学罗宇那边的研究进度，无法进行比较。
但包梓这边的研究进度，绝对不能称得上是慢。
顾律就这样一边翻着桌上的文件，一边等着包梓回来。
十几分钟后。
“老师，我回来了！”
人未到，声先至。
听到声音后抬头，顾律正好看到包梓蹦蹦跳跳的走进来，手里拎着一个打包袋。
打包袋装着几个大包子，想必是包梓的早餐。
包梓扬了扬手中的打包袋，“老师，吃包子吗？牛肉馅的。”
顾律笑着摆摆手，“不了，早饭我已经吃过了。”
包梓拉过一把椅子坐在顾律旁边，一个包子被啊呜一口咬掉一小半，一边吃着一边含糊不清的开口，“老师，现在可以给我指导我遇到的那个难题了吧。”
“你确定是现在吗？”顾律指了指包梓手中未吃完的大包子。
包梓点点头，“这样节省时间。”
“那你说吧。”
在顾律的授意下，包梓谈起她在前几天课题研究中遇到的一个难题。
包梓研究的是变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题。
按照课题框架中制定的研究计划。
针对该问题，需要建立两个变量为n的函数，分别来表示Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数。
接着，利用Dirichlet有理逼近定理和Chauchy不等式，得出T(-a;x)在主区间上的估计，以及S1(a，√2)在余区间上的估计。
包梓就是卡在这一步上。
简单来说，包梓没有想通，如何利用Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数，精准的得出T(-a;x)在主区间上的估计，还有S1(a，√2)在余区间上的估计。
“这样啊……”
顾律摸着下巴，了解的点点头。
包梓说的没错，这个地方，确实该课题的难点之一。
一旦处理不好，很容易前功尽弃。
不过，这对顾律来说，并不算什么难题。
说完，包梓啊呜一口咬了口包子，舒服的眯着眼，一副很满足的样子。
“唔，想了一晚上，一点头绪都没有，很难受。”
包梓含含糊糊的说了一句，但脸上不见丝毫烦恼的样子。
“老师，这个难题，难不倒你对不对？”包梓眼睛亮晶晶的盯着顾律。
顾律点点头。
包梓笑嘻嘻的开口，“那就麻烦老师解惑了。”
顾律无奈一笑，从桌面上随便拿了一张空白的草稿纸。
从笔筒里抽出一根粉丝的碳素笔，沉吟几秒后，顾律在纸上写下六个大字。
“球内整点问题？”包梓轻咦一声。
顾律淡淡一笑，开口说道，“没错，就是球内整点问题。”
球内整点问题，其全称是球内整点的素数分布问题。
这是解析数论领域较为知名的一个问题。
不过，该问题尚未内彻底解决。
但，球内整点问题虽未被彻底解决，但不妨碍数学家们使用其相关的知识解决其它数学问题。
就比如说，眼前这个问题。
目前包梓遇到的这个问题，利用球内整点问题进行求解并非是唯一的方案。
但比较过几种方案后，顾律认为这是最简单的方案。
而包梓这边，经过顾律这么一提醒，瞬间恍然大悟。
与球内整点问题相关的知识很多。
但和该课题研究内容相关联的知识，就那么一个。
那是在上个世纪九十年代，由两位华国数学家使用三元二次型，在球内整点问题的基础上提出的一个公式：
πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)
当然，这个公式成立的先决条件，是A＞0。
公式并不复杂，但是球内整点问题的几大研究成果之一。
因为其揭露了球内整点一部分素数分布问题。
虽然隐隐猜到了什么，但包梓并非很确定，于是探寻的目光望向顾律。
顾律不再卖关子。
唰唰几下在纸上写下一行公式。
πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)
这个公式，正是包梓猜想的那样。
不过包梓没有贸然开口，而是等着顾律的下文。
顾律将公式中‘C3’和‘I3’重重圈起来，开口解释道，“这两个符号，C3代表球内整点问题中的奇异级数，I3代表奇异积分，我们可以先这样……”
“……在上述前提的基础上，由公式πΛ(x)：=（省略）可以得到公式π3(x)=12C3I3∫t^0.5/logtdt+O(x^1.5log^(-A)x)。”
顾律讲述的速度很快，但旁边的包梓却很轻松的可以跟上顾律的速度，没有丝毫压力。
甚至，还可以抽空吃几口包子。
顾律的思路包梓明白了大半。
简单来说，就是利用三元二次型的球内整点问题公式，得出奇异级数以及奇异积分。
再在奇异级数和奇异积分的基础上，得出了除数函数有关的均值问题公式。
果然，顾律讲的最后一步，就是除数问题均值问题的推导。
“……最后，我们可以在前面这五个公式的基础上，推导出一个与除数函数有关的均值问题公式，即……”
由于并没有事先准备，这个公式，顾律是当场先算的。
脑子里简单过了一遍后，顾律便在纸上写下最终这个公式。
S(x):=∑(1≤m1，m2，m3≤x)d(m1^2+m2^2+m3^2)=8ζ(3)/5ζ(4)x^3logx+O(x^3).
“嘶，这个公式……”
当该公式的全貌呈现在顾律面前时，似乎是想到了什么，顾律的瞳孔猛地一缩。
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跨校课题项目已经开题半个月。
这半个月时间，无论是罗宇所在课题小组，还是包梓所在的课题小组，均取得不错的进展。
尤其是包梓这边。
在关于变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题上取得了数项重大突破。
在包梓桌上有一本文件。
里面详细的记录了包梓在研究自守L-函数傅里叶系数均值问题的过程中，目前取得的一系列进展。
顾律简单的扫了一眼，接着满意的点点头。
总的来说，包梓这边的进度，是比顾律预想中的要快上一些的。
顾律本以为，半个月左右的时间，包梓这边达成10%的进度就算不错了。
但现在看来，这个估计还是有些保守了。
在针对课题中关于傅里叶系数均值问题的研究，包梓这边的进度差不多是15%。
按照这个效率继续下去，不需要半年，大概只需要四个月左右的时间，包梓这边就能完工。
顾律还不清楚金陵大学罗宇那边的研究进度，无法进行比较。
但包梓这边的研究进度，绝对不能称得上是慢。
顾律就这样一边翻着桌上的文件，一边等着包梓回来。
十几分钟后。
“老师，我回来了！”
人未到，声先至。
听到声音后抬头，顾律正好看到包梓蹦蹦跳跳的走进来，手里拎着一个打包袋。
打包袋装着几个大包子，想必是包梓的早餐。
包梓扬了扬手中的打包袋，“老师，吃包子吗？牛肉馅的。”
顾律笑着摆摆手，“不了，早饭我已经吃过了。”
包梓拉过一把椅子坐在顾律旁边，一个包子被啊呜一口咬掉一小半，一边吃着一边含糊不清的开口，“老师，现在可以给我指导我遇到的那个难题了吧。”
“你确定是现在吗？”顾律指了指包梓手中未吃完的大包子。
包梓点点头，“这样节省时间。”
“那你说吧。”
在顾律的授意下，包梓谈起她在前几天课题研究中遇到的一个难题。
包梓研究的是变量为三元二次型的自守L-函数傅里叶系数均值问题。
按照课题框架中制定的研究计划。
针对该问题，需要建立两个变量为n的函数，分别来表示Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数。
接着，利用Dirichlet有理逼近定理和Chauchy不等式，得出T(-a;x)在主区间上的估计，以及S1(a，√2)在余区间上的估计。
包梓就是卡在这一步上。
简单来说，包梓没有想通，如何利用Maass尖形式和全纯尖形式的傅里叶系数，精准的得出T(-a;x)在主区间上的估计，还有S1(a，√2)在余区间上的估计。
“这样啊……”
顾律摸着下巴，了解的点点头。
包梓说的没错，这个地方，确实该课题的难点之一。
一旦处理不好，很容易前功尽弃。
不过，这对顾律来说，并不算什么难题。
说完，包梓啊呜一口咬了口包子，舒服的眯着眼，一副很满足的样子。
“唔，想了一晚上，一点头绪都没有，很难受。”
包梓含含糊糊的说了一句，但脸上不见丝毫烦恼的样子。
“老师，这个难题，难不倒你对不对？”包梓眼睛亮晶晶的盯着顾律。
顾律点点头。
包梓笑嘻嘻的开口，“那就麻烦老师解惑了。”
顾律无奈一笑，从桌面上随便拿了一张空白的草稿纸。
从笔筒里抽出一根粉丝的碳素笔，沉吟几秒后，顾律在纸上写下六个大字。
“球内整点问题？”包梓轻咦一声。
顾律淡淡一笑，开口说道，“没错，就是球内整点问题。”
球内整点问题，其全称是球内整点的素数分布问题。
这是解析数论领域较为知名的一个问题。
不过，该问题尚未内彻底解决。
但，球内整点问题虽未被彻底解决，但不妨碍数学家们使用其相关的知识解决其它数学问题。
就比如说，眼前这个问题。
目前包梓遇到的这个问题，利用球内整点问题进行求解并非是唯一的方案。
但比较过几种方案后，顾律认为这是最简单的方案。
而包梓这边，经过顾律这么一提醒，瞬间恍然大悟。
与球内整点问题相关的知识很多。
但和该课题研究内容相关联的知识，就那么一个。
那是在上个世纪九十年代，由两位华国数学家使用三元二次型，在球内整点问题的基础上提出的一个公式：
πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)
当然，这个公式成立的先决条件，是A＞0。
公式并不复杂，但是球内整点问题的几大研究成果之一。
因为其揭露了球内整点一部分素数分布问题。
虽然隐隐猜到了什么，但包梓并非很确定，于是探寻的目光望向顾律。
顾律不再卖关子。
唰唰几下在纸上写下一行公式。
πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)
这个公式，正是包梓猜想的那样。
不过包梓没有贸然开口，而是等着顾律的下文。
顾律将公式中‘C3’和‘I3’重重圈起来，开口解释道，“这两个符号，C3代表球内整点问题中的奇异级数，I3代表奇异积分，我们可以先这样……”
“……在上述前提的基础上，由公式πΛ(x)：=（省略）可以得到公式π3(x)=12C3I3∫t^0.5/logtdt+O(x^1.5log^(-A)x)。”
顾律讲述的速度很快，但旁边的包梓却很轻松的可以跟上顾律的速度，没有丝毫压力。
甚至，还可以抽空吃几口包子。
顾律的思路包梓明白了大半。
简单来说，就是利用三元二次型的球内整点问题公式，得出奇异级数以及奇异积分。
再在奇异级数和奇异积分的基础上，得出了除数函数有关的均值问题公式。
果然，顾律讲的最后一步，就是除数问题均值问题的推导。
“……最后，我们可以在前面这五个公式的基础上，推导出一个与除数函数有关的均值问题公式，即……”
由于并没有事先准备，这个公式，顾律是当场先算的。
脑子里简单过了一遍后，顾律便在纸上写下最终这个公式。
S(x):=∑(1≤m1，m2，m3≤x)d(m1^2+m2^2+m3^2)=8ζ(3)/5ζ(4)x^3logx+O(x^3).
“嘶，这个公式……”
当该公式的全貌呈现在顾律面前时，似乎是想到了什么，顾律的瞳孔猛地一缩。
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